Problème de mathématiques discrètes - Théorie des probabilités et comptage

Question

Je prends un cours de mathématiques discrètes, j'ai rencontré une question et j'ai besoin de votre aide. Je ne sais pas si cela est le bon endroit pour que si :)

Il dit:

Chaque utilisateur sur un système informatique a un mot de passe, ce qui est de six à huit caractères, où chaque personnage est un majuscule ou un chiffre. Chaque mot de passe doit contenir au moins un chiffre. Combien y a-t-il de mots de passe possibles? Le livre résout cela en ajoutant les probabilités d'avoir six, sept et huit caractères de long mot de passe. Cependant, quand il résout pour la probabilité de six caractères, il le fait

 
P6 = 366 - 266 

et ne

 
P7 = 367 - 267 

et

 
P8 = 368 - 268 

puis les ajouter.

Je comprends la solution, mais ma question est de savoir pourquoi ne calcule pas, P6 = 10 * 36 et même pour P7 et P8, travail? 10 pour le chiffre et 36 pour l'alphanumérique?

Aussi, si quelqu'un pouvait me donner une autre solution, autre que celle du livre.

Merci beaucoup :)

Answer 1

Tu oublies que le nombre peut être dans une position quelconque.

Answer 2

Je comprends la solution, mais ma question est pourquoi ne pas effectuer le calcul, P6 = 10 * 36^5 et la même chose pour P7 et P8, travailler? 10 pour le chiffre et 36 pour l'alphanumérique?

vous garantissez qu'il ya un chiffre en utilisant les 10,
mais, il n'y a rien à arrêter là d'être un chiffre dans les autres positions (36 choix)
c'est pourquoi vous devez obtenir tous les peignes dans lesquels il y a des chiffres et soustraient tous ceux où il n'y a pas
qui conduit à P6 = 36^6 - 26^6

Si je pense que si une solution de rechange je vais revisiter ce post, mais pour l'instant je ne vois pas pourquoi vous ne seriez pas satisfait avec le fourni, sachant pourquoi le vôtre ne fonctionne pas

Answer 3

Si vous le faites comme 36^5 * 10, cela signifie "prendre les cinq premières positions et y mettre des lettres/chiffres aléatoires et remplir la sixième (et seulement la sixième) position avec un chiffre" - mais votre chiffre peut être dans chaque endroit . Considérez ce qui suit: Si vous définissez 5 emplacements avec des lettres/chiffres, puis mettre un chiffre à la sixième place donne 10 possibilités (la sixième position peut alors contenir tous les nombres de 0 à 9), et si vous mettez le chiffre devant les lettres, cela donnerait 10 autres possibilités (alors, la première place pourrait contenir tous les chiffres de 0 à 9), donc en multipliant par 10 vous oubliez quelques possibilités.

Si vous voulez calculer « la manière brute », vous pourriez faire ce qui suit (je le fais avec six endroits, vous pouvez l'adapter à 7 ou 8). Comme un mot de passe doit contenir au moins un chiffre, il peut contenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 chiffres, respectivement 5, 4, 3, 2, 1 ou 0 lettres.

Si vous avez k chiffres dans 6 endroits au total, il y a 6 over k possibilités de choisir ces k places. Chacun de ces lieux k peut être rempli par un chiffre, de sorte que vous avez 10^k possibilités pour les chiffres et 26^(6-k) possibilités de lettres.

Ainsi, pour k chiffres, vous avez 10^k * 26^(6-k) possibilités. Ainsi, étant donné que vous pouvez distribuer les k chiffres de 6 over k façons, vous avez

sum(k from 1 to 5: (6 over k) * 10^k * 26^(6-k)) = 36^6-26^6

possibilités au total.