Matrice de rotation à équivalence quaternaire

Question

Je suis suivi de 3 points (3D, x y z) sur un corps rigide, que j'utilise pour définir un système de coordonnées local. J'utilise l'orientation de ce système de coordonnées local (dans le référentiel global) pour définir l'orientation de la vue dans un programme VR. Pour ce faire, et éviter les verrous de cardan avec des angles d'Euler, j'essaye d'utiliser un quaternion pour définir l'orientation de la vue.

Je crée une matrice de rotation à partir des 3 points, puis j'utilise cette méthode décrite au Wikipedia pour extraire le quaternion supposé équivalent. Je définis alors simplement l'orientation de la vue comme étant le quaternion calculé. Cependant, ce que j'observe, c'est qu'il n'y a principalement qu'un seul degré de liberté (tangage) quand je devrais aussi être capable de voir simultanément les changements dans le lacet et le roulis. J'ai extrait les angles d'Euler de la matrice de rotation, et cela fonctionne bien sauf au cardan-lock. Donc je suis certain que la matrice de rotation est utilisable, bien que ce soit incorrect dans mon cas.

Ma question est la suivante: pourquoi le quaternion supposé équivalent ne semble-t-il que changer le degré de liberté de «hauteur»?

Je suis conscient qu'un quaternion est une rotation autour de 1 axe, mais je pensais que si elle était dérivée de la matrice de rotation, le résultat final serait le même que pour régler les angles d'Euler?

Voici mon code en python:

import viz 
import numpy as np 

vec1 = np.array([-0.96803,-0.25022,0.01751],dtype=float) 
vec3 = np.array([-0.024815,0.96553,0.07863],dtype=float) 
vec4 = np.array([-0.03655,0.07178,-0.99675],dtype=float) 
#normalize to unit length 
vec1 = vec1/np.linalg.norm(vec1) 
vec3 = vec3/np.linalg.norm(vec3) 
vec4 = vec4/np.linalg.norm(vec4) 

M1 = np.zeros((3,3),dtype=float) #rotation matrix 

#rotation matrix setup 
M1[:,0] = vec1 
M1[:,1] = vec3 
M1[:,2] = vec4 

#get the real part of the quaternion first 
r = np.math.sqrt(float(1)+M1[0,0]+M1[1,1]+M1[2,2])*0.5 
i = (M1[2,1]-M1[1,2])/(4*r) 
j = (M1[0,2]-M1[2,0])/(4*r) 
k = (M1[1,0]-M1[0,1])/(4*r) 

viz.MainView.setQuat(i,j,k,r) 

Toute aide ou des idées serait génial!

Answer 1

Le problème principal ici est que vous avez appliqué un algorithme qui ne concerne que les matrices de rotation 3x3 appropriées à une matrice qui n'est pas orthogonale et qui est très proche d'une matrice de rotation incorrecte. C'est ce dernier qui est la source principale de vos problèmes.

Votre matrice M1 est

array([[-0.9994477 , -0.02887993, 0.0164005 ], 
     [-0.02958325, 0.99862763, -0.04323132], 
     [ 0.01513678, 0.0436899 , 0.99893047]]) 

Vous obtiendrez un non-sens lorsque vous appliquez correctement cet algorithme pour extraire un quaternion à partir d'une matrice de rotation propre à cette matrice non conforme. En particulier, parce que M[2,1] est approximativement égale à -M[1,2], M[0,2] est approximativement égale à M[2,0], et M[1,0] est approximativement égale à M[0,1], vous obtiendrez ce qui semble être le roulement presque pur. Remarque: Il en va de même pour les algorithmes d'extraction des angles d'Euler à partir d'une matrice. Ces algorithmes supposent tous que la matrice est une matrice de rotation appropriée. Lorsque vous les appliquez incorrectement à une matrice de rotation incorrecte, vous aurez un non-sens.