Nested Fonction Composition

Question

Je ne peux pas envelopper la tête autour de la composition de fonction suivante:

function plus_one(x) { 
    return x + 1; 
} 

function trans(f) { 
    return function(x) { 
     return 2 * f(2 * x); 
    }; 
} 

function twice(f) { 
    return function(x) { 
     return f(f(x)); 
    } 
} 

Lorsque je tente d'évaluer ((twice)(trans))(plus_one)(1) C'est ce que je reçois, en supposant plus_one est f f(2f(2x))=2f(2*2f(2x))=2f(4f(2x)) = 2*(4*(2 + 1)) = 24. Mais tapant dans l'intrepreter révèle qu'il est 20.

Toute aide est grandement appréciée.

Un grand merci à l'avance.

Answer 1

((twice)(trans))(plus_one) est trans(trans(plus_one)) et

trans(trans(plus_one)) (1) 
—> trans(λx.2 * plus_one(2*x)) (1) 
—> λy.2 * ((λx.2 * plus_one(2*x))(2*y) (1) 
—> 2 * (λx.2 * plus_one(2*x)) (2*1) 
-> 2 * 2 * plus_one(2*2) 
-> 2 * 2 * 5 
-> 20 

Answer 2

Il peut être utile d'utiliser différents noms de paramètres dans les différentes fonctions pour ne pas les confondre. f ne se réfère pas toujours à plus_one.

Avec

plus_one = λ x0 ⇒ x0 + 1; 
trans = λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1); 
twice = λ f1 ⇒ λ x2 ⇒ f1(f1(x2)); 

nous pouvons évaluer

twice(trans)(plus_one)(1) 

comme

≡ (λ f1 ⇒ λ x2 ⇒ f1(f1(x2)))(trans)(plus_one)(1) 
≡ (λ x2 ⇒ trans(trans(x2)))(plus_one)(1) 
≡ trans(trans(plus_one)))(1) 
≡ (λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1))(trans(plus_one)))(1) 
≡ (λ x1 ⇒ 2 * trans(plus_one)(2 * x1))(1) 
≡ 2 * trans(plus_one)(2 * 1) 
≡ 2 * (λ f0 ⇒ λ x1 ⇒ 2 * f0(2 * x1))(plus_one)(2 * 1) 
≡ 2 * (λ x1 ⇒ 2 * plus_one(2 * x1))(2 * 1) 
≡ 2 * 2 * plus_one(2 * (2 * 1)) 
≡ 2 * 2 * (λ x0 ⇒ x0 + 1)(2 * (2 * 1)) 
≡ 2 * 2 * ((2 * (2 * 1)) + 1) 
≡ 20