solution symbolique du système d'équations en utilisant sympy des solutions triviales en fonction des symboles

Question

J'ai un système d'équations comme suit:

Ce système spécifique, je sais qu'une solution non triviale (s) existe seulement si p1 == p2, qui est

.

Cependant, comment puis-je déterminer cela dans le cas général en utilisant Sympy?

Pour cet exemple, ma mise en œuvre est la suivante:

from sympy import Matrix, symbols, pprint, lcm, latex 
from sympy.solvers import solve_linear_system 

top_matrix = Matrix.zeros(8,7) 
p1 = symbols("p1") 
p2 = symbols("p2") 

top_matrix[0,0] = 1 
top_matrix[0,1] = -1 

top_matrix[1,1] = (1-p1) 
top_matrix[1,2] = -1 

top_matrix[2,2] = 1 
top_matrix[2,4] = p2-1 

top_matrix[3,1] = p1 
top_matrix[3,3] = -1 

top_matrix[4,3] = 1 
top_matrix[4,4] = -p2 

top_matrix[5,4] = 1 
top_matrix[5,5] = -1 

top_matrix[6,1] = -1 
top_matrix[6,6] = 1 

top_matrix[7,4] = -1 
top_matrix[7,6] = 1 

pprint(top_matrix) 
vars = symbols("a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8") 
print solve_linear_system(top_matrix, *vars) 

Le résultat est

None 

Si je mets

p2 = p1 

le résultat est

{a1: -1, a5: -1, a2: -1, a6: -1, a3: p1 - 1, a4: -p1} 

Existe-t-il un moyen de découvrir cette exigence automatiquement?

Answer 1

Dans votre code d'exemple, solve_linear_system attend un système augmenté, c'est-à-dire que si le côté droit est zéro, la matrice doit être déclarée comme Matrix.zeros(8,8). Avec cette modification, votre code donne

{a3: 0, a1: 0, a5: 0, a7: 0, a6: 0, a2: 0, a4: 0} 

qui est en effet une solution, mais pas intéressant ...

Pour y remédier, on peut demander explicitement que devrait être normalisé un composant de la solution , par exemple, 1. donc, si vous faites quelque chose comme ce qui suit:

from sympy import Matrix, symbols, pprint, lcm, latex, solve 

top_matrix = Matrix.zeros(8,7) 
p1,p2 = symbols("p1, p2") 

top_matrix[0,0] = 1 
top_matrix[0,1] = -1 

top_matrix[1,1] = (1-p1) 
top_matrix[1,2] = -1 

top_matrix[2,2] = 1 
top_matrix[2,4] = p2-1 

top_matrix[3,1] = p1 
top_matrix[3,3] = -1 

top_matrix[4,3] = 1 
top_matrix[4,4] = -p2 

top_matrix[5,4] = 1 
top_matrix[5,5] = -1 

top_matrix[6,1] = -1 
top_matrix[6,6] = -1 

top_matrix[7,4] = 1 
top_matrix[7,6] = 1 

pprint(top_matrix) 

a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 = list(symbols("a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7")) 

B = Matrix([[1],[a2],[a3],[a4],[a5],[a6],[a7]]) 

C = top_matrix * B 

print(solve(C, (a2,a3,a4,a5,a6,a7,p1,p2))) 

et résoudre les autres variables, ainsi que les paramètres p1,p2, le résultat est:

[{a2: 1, a7: -1, a4: p2, a6: 1, a5: 1, p1: p2, a3: -p2 + 1}] 

qui est en effet la solution désirée.

Answer 2

Il semble que des friandises sympy p1 et p2 comme non égaux, ce qui signifie que

top_matrix.nullspace() 

[]

qui est, le système homogeous avec des coefficients de la matrice top_matrix n'a pas non solution triviale.

Vous avez deux options, ici. La première consiste à traiter le système homogène comme ayant des variables inconnues à la fois les éléments du vecteur betp2, en traitant p1 comme un paramètre fixe.

b = sp.Matrix(sp.symbols('b1:8')) #import sympy as sp 
sp.solve(top_matrix*b, (*b,p2)) 

[{b1: 0, b2: 0, b3: 0, b4: 0, b5: 0, b6: 0, b7: 0}, 
{b1: b7, b2: b7, b3: b7*(-p1 + 1), b4: b7*p1, b5: b7, b6: b7, p2: p1}] 

Notez que le système a deux solutions. Le trivial (avec arbitraire p2), et un non-trivial, où il est p2==p1 (arbitraire b7).

La deuxième option consiste à réaliser que le système A*b=0 a une solution non triviale si le système A.T*A*b=0 a une solution non triviale. Ce dernier est possible si le déterminant de A.T*A est nul.Le facteur déterminant de A.T*A est égal à

(top_matrix.T * top_matrix).det().factor() 

6*(p1 - p2)**2

révélant immédiatement qu'il doit tenir p1==p2 afin d'avoir une solution non triviale.