Pourquoi le traitement de l'index en tant que variable continue ne fonctionne-t-il pas lors de l'exécution d'une transformée de Fourier discrète inverse?

Question

J'ai un ensemble de points décrivant une courbe fermée dans le plan complexe, appelez-le Z = [z_1, ..., z_N]. Je voudrais interpoler cette courbe, et comme elle est périodique, l'interpolation trigonométrique semblait un choix naturel (surtout en raison de sa précision accrue). En effectuant la FFT, on obtient les coefficients de Fourier:

F = fft(Z); 

À ce stade, nous pourrions obtenir Z revenir par la formule (où 1i est l'unité imaginaire, et nous utilisons (k-1)*(n-1) parce que l'indexation Matlab commence à 1)

    N 
    Z(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= n <= N. 
       k=1 

Ma question

y at-il des raisons pour lesquelles n doit être un entier? Vraisemblablement, si nous traitons n comme n'importe quel nombre réel entre 1 et N, nous obtiendrons juste plus de points sur la courbe interpolée. Est-ce vrai? Par exemple, si nous voulions doubler le nombre de points, pourrait-nous pas

    N 
    Z_new(n) = (1/N) sum F(k)*exp(1i*2*pi*(k-1)*(n-1)/N), with n = 1, 1.5, 2, 2.5, ..., N-1, N-0.5, N 
       k=1 

?

Les nouveaux points sont bien sûr juste soumis à une erreur d'interpolation, mais ils seront assez précis, non? La raison pour laquelle je pose cette question est parce que cette méthode ne fonctionne pas pour moi. Quand j'essaie de faire cela, je reçois un tas de points brouillés qui n'a aucun sens.

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(Soit dit en passant, je sais que je pouvais utiliser la commande interpft(), mais je voudrais ajouter des points que dans certaines zones de la courbe, par exemple entre z_a et z_b)

Answer 1

Le point est quand n est un nombre entier, vous avez quelques fonctions primaires qui sont orthogonales et peuvent servir de base pour l'espace. Quand, n n'est pas entier, les fonctions exponentielles dans la formule, ne sont pas orthogonales. Par conséquent, l'expression d'une fonction basée sur ces bases non orthogonales n'est pas significative autant que prévu.

Pour le cas d'orthogonalité, vous pouvez voir ce qui suit à titre d'exemple (à partir de here). Comme vous pouvez le vérifier, vous pouvez trouver deux n_1 et n_2 qui ne sont pas entiers, les intégrales suivantes ne sont plus nulles, et elles ne sont pas orthogonales.