Calcul approximation de rang inférieur en Python

Question

Étant donné une matrice M de dimensions nxn, comment puis-je calculer une factorisation de rang inférieur telle que M = L.T * L, où L est de dimensions kxn. Jusqu'à présent, j'ai seulement vu cela fait en utilisant SVD, ce qui n'est pas exactement ce que je veux parce que la méthode me donne M = U S V, et UT! = S * V, par opposition à (LT) .T = = L.

Une autre alternative pourrait être d'utiliser une forme d'optimisation pour trouver L, mais ce n'est pas simple car j'ai déjà essayé plusieurs méthodes d'optimisation de SciPy avec la différence M - LT * L sous la norme frobenius , et jusqu'à présent, je n'ai pas réussi. J'ai oublié d'ajouter qu'en utilisant la classe de factorisation matricielle non-négative de scikit, je suis capable d'y parvenir partiellement en passant L et L.T comme matrices candidates pour l'optimisation. Cependant, ma matrice M n'est pas non-négative, donc cette méthode ne fonctionne pas pour moi.

Answer 1

La réponse dépend de ce que vous savez sur la matrice.

Si la matrice est semi-définie positive, vous pouvez utiliser Cholesky Factorization, utiliser pivotant pour la stabilité. Dans d'autres hypothèses, une solution peut ne pas exister.

---

Un exemple où une solution ne peut pas exister, il n'y a pas de solution pour la matrice suivante:

[[0, 1], 
[0, 0]] 

Preuve: On suppose que la réponse existe. Ensuite, la solution ressemble à:

L = [[a, b], 
    [c, d]] 

Ainsi, le suivant doit être vrai:

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

Selon 3. (c == 0) or ((a+d) == 0)

Si c == 0, puis en fonction de 1. et 2. a == 0 et d == 0. Si cela est vrai, alors (a+d) == 0 ce qui rend 4. impossible. Si (a+d) == 0 puis 4. est impossible. En contradiction, nous savons qu'il ne peut y avoir de décomposition que vous demandiez avec cette matrice.