Méthode numérique runge kutta

Question

Résoudre l'équation différentielle. dy/dx = xz + 1, dz/dx = -xy pour x = 0,3 étant donné que y = 0 et z = 1 lorsque x = 0 en utilisant la méthode runge kutta d'ordre quatre. Je suis incapable de démarrer ce problème. S'il vous plaît aider. J'ai besoin d'une solution mathématique en utilisant l'analyse numérique et non la programmation.

Answer 1

Du texte classique Recettes numériques http://www.aip.de/groups/soe/local/numres/bookcpdf/c16-1.pdf:

quatrième ordre méthode Runge-Kutta. À chaque étape, la dérivée est évaluée quatre fois: une fois au point initial, deux fois aux points milieu de l'essai et une fois à un point final de l'essai. A partir de ces dérivées, la valeur finale de la fonction est calculée.

k1 = hf(xn, yn) 
k2 = hf(xn + h/2 , yn + k1/2) 
k3 = hf(xn + h/2 , yn + k2/2) 
k4 = hf(xn + h, yn + k3) 
yn+1 = yn + k1/6 + k2/3 + k3/3 + k4/6 + O(h^5) 

Exemple en C:

#include “nrutil.h" 
float **y,*xx; 
void rkdumb(float vstart[], int nvar, float x1, float x2, int nstep, void (*derivs)(float, float [], float [])) 
{ 
    void rk4(float y[], float dydx[], int n, float x, float h, float yout[], void (*derivs)(float, float [], float [])); 
    int i,k; 
    float x,h; 
    float *v,*vout,*dv; 
    v=vector(1,nvar); 
    vout=vector(1,nvar); 
    dv=vector(1,nvar); 
    for (i=1;i<=nvar;i++) { 
     v[i]=vstart[i]; 
     y[i][1]=v[i]; 
    } 
    xx[1]=x1; 
    x=x1; 
    h=(x2-x1)/nstep; 
    for (k=1;k<=nstep;k++) { 
     (*derivs)(x,v,dv); 
     rk4(v,dv,nvar,x,h,vout,derivs); 
     if ((float)(x+h) == x) 
      nrerror("Step size too small in routine rkdumb”); 
     x += h; 
     xx[k+1]=x; 
     for (i=1;i<=nvar;i++) { 
      v[i]=vout[i]; y[i][k+1]=v[i]; 
     } 
    } 
    free_vector(dv,1,nvar); 
    free_vector(vout,1,nvar); 
    free_vector(v,1,nvar); 
} 

Cela devrait vous aider à démarrer. J'espère que cela aide.