Calcul de la position, de la vélocité et d'autres dérivées d'un mouvement de manière efficace

Question

OK, voici un puzzle de programmation/physique, disons Java (bien que ce ne soit pas vraiment important - mais par souci de cohérence, nous utiliserons Java).

J'ai un tableau de doubles où chaque élément représente les dérivées successives de la position d'un objet. Alors:

d[0] // position 
d[1] // velocity 
d[2] // accelleration 

etc ...

Il y aura au moins 1 et potentiellement un certain nombre d'éléments (mais dans la pratique, probablement pas plus de 5). Tous les éléments au-delà de la fin du tableau sont supposés être zéro. Nous avons également un double t pour le temps.

Donc, si d.length étaient 3 alors très précisément:

d[0] += d[1] * t + d[2] * t * t/2 
d[1] += d[2] * t 

Mais comment pouvons-nous écrire une solution itérative (pas récursion!) Qui mettra à jour tous les éléments du tableau pour l'instant t pour une durée de une?

Des votes devraient être accordés pour l'efficacité et la concision.

EDIT: Les lois du mouvement sont sur les pages de la physique de ce site, mais essentiellement chaque terme a la forme:

power(t,n)/factorial(n) 

Ainsi, le prochain mandat de la première équation serait d[3] * t*t*t/6

Si vous n'êtes pas familier avec ces équations, s'il vous plaît ne me demandez pas d'expliquer.

Un cas de test:

final static double[] D = { 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0 }; 
double t = 10.0 

devrait donner:

[945.0, 300.66666666666663, 73.0, 12.0, 1.0] 

Le deuxième élément peut varier en raison d'erreurs de précision.

Answer 1

Je pense que quelque chose comme cela fonctionne.

int length = d.length; 
for (int i = 0; i < length - 1; i++) { 
    double temp = 0; 
    for (int j = length - 1; j > i; j--) 
     temp = (temp + d[j]) * t/(j - i); 
    d[i] += temp; 
} 

Answer 2

Mise à jour:

for (int i = 0; i < d.length - 1; i++) { 
    d[i] = 0; 
    int f = 1; 
    double p = 1; 
    for (int j = i+1; j < d.length; j++) { 
     f *= j - i; 
     p *= t; 
     d[i] += d[j] * p/f; 
    } 
}