Ajustement du cercle des moindres carrés à l'aide de MATLAB Optimization Toolbox

Question

J'essaie d'implémenter l'ajustement de cercle des moindres carrés en suivant le papier this (désolé, je ne peux pas le publier). L'article indique que nous pourrions faire un cercle, en calculant l'erreur géométrique comme la distance euclidienne (Xi '') entre un point spécifique (Xi) et le point correspondant sur le cercle (Xi '). Nous avons trois paramètres: Xc (un vecteur de coordonnées au centre du cercle), et R (rayon).

je suis venu avec le code Matlab suivant (notez que je suis en train de tenir des cercles, et non des sphères comme il est indiqué sur les images):

function [ circle ] = fit_circle(X) 
    % Kör paraméterstruktúra inicializálása 
    % R - kör sugara 
    % Xc - kör középpontja 
    circle.R = NaN; 
    circle.Xc = [ NaN; NaN ]; 

    % Kezdeti illesztés 
    % A köz középpontja legyen a súlypont 
    % A sugara legyen az átlagos négyzetes távolság a középponttól 
    circle.Xc = mean(X); 
    d = bsxfun(@minus, X, circle.Xc); 
    circle.R = mean(bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2))); 
    circle.Xc = circle.Xc(1:2)+random('norm', 0, 1, size(circle.Xc)); 

    % Optimalizáció 
    options = optimset('Jacobian', 'on'); 
    out = lsqnonlin(@ort_error, [circle.Xc(1), circle.Xc(2), circle.R], [], [], options, X); 
end 
%% Cost function 
function [ error, J ] = ort_error(P, X) 
    %% Calculate error 
    R = P(3); 
    a = P(1); 
    b = P(2); 

    d = bsxfun(@minus, X, P(1:2));  % X - Xc 
    n = bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2)); % || X - Xc || 
    res = d - R * bsxfun(@times,d,1./n); 
    error = zeros(2*size(X,1), 1); 
    error(1:2:2*size(X,1)) = res(:,1); 
    error(2:2:2*size(X,1)) = res(:,2); 
    %% Jacobian 
    xdR = d(:,1)./n; 
    ydR = d(:,2)./n; 
    xdx = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,1).^2*R)./n.^3,1); 
    ydy = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,2).^2*R)./n.^3,1); 
    xdy = (d(:,1).*d(:,2)*R)./n.^3; 
    ydx = xdy; 

    J = zeros(2*size(X,1), 3); 
    J(1:2:2*size(X,1),:) = [ xdR, xdx, xdy ]; 
    J(2:2:2*size(X,1),:) = [ ydR, ydx, ydy ]; 
end 

Le raccord cependant n'est pas trop bon: si je commence par le bon vecteur de param'etres, l'algorithme se termine'a la premi'ere étape (il y a donc un minimum local), mais si je perturbe le point de départ (avec un cercle silencieux) très grosses erreurs. Je suis sûr que j'ai oublié quelque chose dans ma mise en œuvre.

Answer 1

Pour ce que ça vaut, j'ai implémenté ces méthodes dans MATLAB il y a quelques temps. Cependant, je l'ai fait apparemment avant que je sois au courant de lsqnonlin etc, car il utilise une régression manuelle. C'est probablement lent, mais peut aider à comparer avec votre code.

function [x, y, r, sq_error] = circFit (P) 
%# CIRCFIT fits a circle to a set of points using least sqaures 
%# P is a 2 x n matrix of points to be fitted 

per_error = 0.1/100; % i.e. 0.1% 

%# initial estimates 
X = mean(P, 2)'; 
r = sqrt(mean(sum((repmat(X', [1, length(P)]) - P).^2))); 

v_cen2points = zeros(size(P)); 
niter = 0; 

%# looping until convergence 
while niter < 1 || per_diff > per_error 

    %# vector from centre to each point 
    v_cen2points(1, :) = P(1, :) - X(1); 
    v_cen2points(2, :) = P(2, :) - X(2); 

    %# distacnes from centre to each point 
    centre2points = sqrt(sum(v_cen2points.^2)); 

    %# distances from edge of circle to each point 
    d = centre2points - r; 

    %# computing 3x3 jacobean matrix J, and solvign matrix eqn. 
    R = (v_cen2points ./ [centre2points; centre2points])'; 
    J = [ -ones(length(R), 1), -R ]; 
    D_rXY = -J\d'; 

    %# updating centre and radius 
    r_old = r; X_old = X; 
    r = r + D_rXY(1); 
    X = X + D_rXY(2:3)'; 

    %# calculating maximum percentage change in values 
    per_diff = max(abs([(r_old - r)/r, (X_old - X) ./ X ])) * 100; 

    %# prevent endless looping 
    niter = niter + 1; 
    if niter > 1000 
     error('Convergence not met in 1000 iterations!') 
    end 
end 

x = X(1); 
y = X(2); 
sq_error = sum(d.^2); 

Ceci est alors exécuté avec:

X = [1 2 5 7 9 3]; 
Y = [7 6 8 7 5 7]; 
[x_centre, y_centre, r] = circFit([X; Y]) 

et transcrites avec:

[X, Y] = cylinder(r, 100); 
scatter(X, Y, 60, '+r'); axis equal 
hold on 
plot(X(1, :) + x_centre, Y(1, :) + y_centre, '-b', 'LineWidth', 1); 

Donner: