Est-ce que Fourier Transforme seulement le signal périodique de processus?

Question

Le signal apériodique pourrait être traité par DFT. DFT peut traiter à la fois le signal périodique et apériodique?

Answer 1

La transformée de Fourier discrète (DFT) définit une relatio nship entre une séquence de domaine temporel N-points x [n], n = 0..N-1, et une séquence de domaine de fréquence N-points (échantillons de la transformée de Fourier uniformément espacés entre \ omega = 0 et 2 \ pi) X [k], k = 0..N-1.La transformation vers l'avant est donnée par:

X[k] = 1/N \sum_{n=0}^{N-1} x[n] exp{-j 2\pi k.n/N} 

qui peut être exprimée sous la forme d'une matrice multiplier

X = D x 

où X et X sont des vecteurs de colonne N-élément correspondant aux domaines temporel et fréquentiel, et D est la N-par-N matrice DFT,

D_{kn} = 1/N exp{-j 2\pi k.n/N} 

(et donc la transformée inverse est dérivée trivialement de l'inverse de la matrice de D). En tant que tel, vous pouvez calculer X [k] pour toute séquence d'entrée N-point x [n], et il n'est même pas très logique de définir une périodicité pour une séquence de longueur finie. Si x [n] peut être divisé en plusieurs parties qui se répètent exactement (par exemple, une séquence de points N/2 répétée), alors nous verrons la structure correspondante dans X [k] (tous les échantillons spectraux impairs seront nuls pour cette Exemple). Maintenant, vous pouvez interpréter la DFT comme la transformée de Fourier d'une séquence périodique de durée infinie composée d'une infinité de répétitions de la séquence temporelle N-point avec laquelle vous commencez. Dans ce cas, les valeurs de DFT X [k] correspondent aux poids des deltas de Dirac qui constituent le spectre de cette séquence d'énergie infinie (mais de puissance finie). Mais vous pouvez aussi l'interpréter comme l'échantillonnage de la transformée de Fourier d'une séquence de longueur finie, ce qui équivaut à une séquence de durée infinie qui n'est pas nulle sur une plage finie à N points. Dans ce cas, les valeurs X [k] sont les échantillons à valeurs finies de la transformée de Fourier à fréquence continue complète.

Answer 2

Oui, vous pouvez. Une bonne explication est made here directement cité ci-dessous. (http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/Lectures/FourierXform/FourierXFormI.html)

Il semble qu'une fonction périodique ne serait pas transformée de Fourier parce qu'elle viole le premier des critères de convergence. Cependant, si nous permettons des fonctions d'impulsion, nous pouvons contourner cette restriction (ceci nous permettra d'utiliser des transformées de Fourier pour les fonctions apériodiques périodiques et ). Considérons la fonction de domaine de fréquence qui est une impulsion simple mise à l'échelle par 2p (le facteur d'échelle sera pratique un peu plus tard).

Nous pouvons trouver la fonction de domaine temporel correspondant en calculant la Fourier inverse Transform,

(La dernière étape a été réalisée à l'aide du tamiser la propriété de l'impulsionFonction.) Notez que la fonction de domaine temporel, x (t), est périodique. Ainsi, si nous autorisons des impulsions dans le domaine de Fourier, nous pouvons avoir des fonctions périodiques dans le domaine temporel. C'était un cas particulier, mais nous pouvons représenter n'importe quel (sujet à des critères de convergence comme ceux de la fonction périodique de la série de Fourier ) avec une transformée de Fourier. D'abord considérons une transformée de Fourier qui est une somme infinie d'impulsions (cette est artificielle, mais elle simplifie quelque chose d'utile).

(Cette dérivation utilise aussi la propriété tamiser.) Donc, pour trouver la transformée de Fourier Transform d'un signal périodique, x (t), d'abord trouver les Fourier coefficients de la série, cn puis