Comment utiliser mathematica pour résoudre implicitement des équations différentielles d'une seule variable?

Question

Je suis en train de forcer Mathematica à différencier implicitement une équation d'ellipse de la forme:

x^2/a^2+y^2/b^2 == 100 

avec a = 8 et b = 6.

La commande J'utilise ressemble à ceci:

D[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100/. y -> 3/4*Sqrt[6400-x^2], x] 

où, y->3/4*Sqrt[6400-x^2] vient de résoudre y en termes de x.

J'ai eu ce jour en suivant les conseils qui se trouvent ici: http://www.hostsrv.com/webmaa/app1/MSP/webm1010/implicit

entrée pour ce script est la voie classique qui est exprimé une relation implicite beween x et y dans les manuels de calcul. Dans Mathematica vous devez rendre cette relation explicite en utilisant y [x] à la place de y. Ceci est fait automatiquement dans le script en remplaçant toutes les occurrences de y avec y [x].

Mais la solution Mathematica donne ne pas y' ou dy/dx dedans (comme quand je l'ai résolu à la main). Donc je ne pense pas que cela a été résolu correctement. Toute idée sur quelle commande permettrait au programme de résoudre un différentiel implicite? Merci.

Answer 1

L'option conceptuellement plus facile (comme vous l'avez mentionné) est de faire y fonction de x et utiliser le partial derivative operator D[]

In[1]:= D[x^2/a^2 + y[x]^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, y'[x]] 

Out[1]= (2 x)/a^2 + (2 y[x] y'[x])/b^2 == 0 

Out[2]= {{y'[x] -> -((b^2 x)/(a^2 y[x]))}} 

Mais pour des relations plus compliquées, il est préférable d'utiliser le total derivative operator Dt[]

In[3]:= SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}]; 

In[4]:= Dt[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, Dt[y, x]] 

Out[4]= (2 x)/a^2 + (2 y Dt[y, x, Constants -> {a, b}])/b^2 == 0 

Out[5]= {{Dt[y, x, Constants -> {a, b}] -> -((b^2 x)/(a^2 y))}} 

Notez qu'il peut être plus facile d'utiliser SetAttributes[{a, b}, Constant] au lieu de la commande SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}] ... Alors le Dt ne porte pas tout cette ordure supplémentaire.

La dernière option (que vous avez mentionné) est de résoudre l'équation d'origine pour y[x], bien que ce n'est pas toujours possible ...

In[6]:= rep = Solve[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, y] 

Out[6]= {{y -> -((b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a)}, {y -> (b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a}} 

Et vous pouvez vérifier qu'il satisfait l'équation différentielle nous avons calculé ci-dessus pour les deux solutions

In[7]:= D[y /. rep[[1]], x] == -((b^2 x)/(a^2 y)) /. rep[[1]] 

Out[7]= True 

Vous pouvez remplacer vos valeurs a = 8 et b = 6 à tout moment avec la règle de remplacement {a->8, b->6}.

Si vous résolvez réellement votre équation différentielle y'[x] == -((b^2 x)/(a^2 y[x]) utilisant DSolve avec la condition initiale correcte (dérivée de l'équation de l'ellipse d'origine), alors vous allez récupérer la solution pour y en termes de x donnés ci-dessus.