Comment trouver la borne supérieure quadratique de l'erreur du moindre carré moyen?

Question

J'ai des données du formulaire

x1[i], x2[i], x3[i], z[i],

où z[i] est une fonction déterministe inconnue de x1[i], x2[i], and x3[i]. Je voudrais trouver une fonction quadratique u(x1, x2, x3)= a11*x1^2 + a22*x2^2 + a33*x3^2 + a12*x1*x2 + ... + a0 qui surcharge les données, c'est-à-dire u(x1[i], x2[i], x3[i]) >= z[i] pour tous i, et qui minimise la somme des erreurs au carré soumises aux contraintes.

Existe-t-il une approche de calcul efficace dans Python ou Matlab?

Answer 1

Il existe une solution très simple. Utilisez simplement la régression polynomiale dans Mathlab (http://www.matrixlab-examples.com/polynomial-regression.html). Vous obtiendrez une certaine fonction P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]). 1. Ensuite, pour chaque i calculez l'expression Diff [i] = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) - z [i]. Vous obtiendrez un tableau Diff. 2. Sélectionnez toutes les valeurs négatives. 3. Trouvez la valeur minimale dans Diff: M = Min (Diff). 4. La fonction désirée est F (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) + Abs (M), où Abs (M) - sa valeur exclut le signe de M.

Mais si vous n'êtes pas limité aux fonctions quadratiques, vous pouvez modifier le degré du polynôme et obtenir une solution plus précise.

Answer 2

Votre problème ressemble à un quadratic programming problem avec des contraintes linéaires. Il existe des algorithmes efficaces pour les résoudre et ils sont également implémentés dans Matlab et Python; voir respectivement quadprog et CVXOPT.