Multiplication du Tenseur du Rang 3

Question

J'ai deux tenseurs de rang 3 chacun, soit deux matrices 3D. Je veux prendre le produit scalaire de ces deux matrices. Je suis confus pour continuer avec ce problème. Aidez-moi avec une formule pour le faire.

Answer 1

A 3 voies tenseur (ou tableau 3D qui revient ou 3 l'ordre du tableau) ne doivent pas nécessairement de rang 3; Ici, « rang d'un tenseur » désigne le minimum de rang 1 tenseurs (ie produit extérieur de vecteurs; Pour N tenseur -way, il est le produit extérieur de N vecteurs) nécessaires pour obtenir votre tenseur original. Ceci est expliqué dans la figure ci-dessous de ce que l'on appelle décomposition CP.

Dans la figure ci-dessus, le tenseur original (x) peut être écrite comme une somme de R rang 1 tenseurs, où R est un entier positif. Dans la décomposition CP, nous visons à trouver un minimum R qui donne notre tenseur d'origine X. Et ce minimum R est appelé le rang de notre tenseur d'origine.

Pour un tenseur trois voies, il est le nombre minimum de (a1, a2, a3 ... aR; b1, b2, b3 ... bR; c1, c2, c3 ... cR) vecteurs (où chacun des vecteurs est n dimensionnel) requis pour obtenir le tenseur d'origine. Le tenseur peut être écrit comme le produit extérieur de ces vecteurs comme:

En termes de élément par élément, on peut écrire le tenseur 3 comme:

Maintenant, avec ce fond, pour répondre à votre question spécifique, pour prendre le produit scalaire (également appelé tenseur produit intérieur), les deux tenseurs doivent être de même forme (par exemple 3x2x5 et 3x2x5), alors le produit intérieur est défini comme somme de l'el produit en fonction de leurs valeurs.

où le script X et Y sont les tenseurs même forme.

---

P.S .: La dans les formules ci-dessus tilde devrait pas être interprété comme une approximation.