Problèmes avec la manipulation de la matrice

Question

J'ai deux matrices A et B et une matrice C où

C = A/B

Maintenant, je veux prendre le dérivé de C qui est

(B*dA/dx - A*dB/dx)/B^2 

Je ne suis pas sûr de comment cela va ressembler. J'ai trouvé quelque part que cela pourrait ressembler

(B/B)*((dA/dx)/B) - (A/B)*(dB/dx)/B 

Je suis confus quel genre d'opérations que je peux effectuer. Puis-je faire

(B/B^2) * (dA/dx) - (A/B^2)*(dB/dx) 

J'ai essayé les deux ci-dessus et ils m'ont donné des résultats différents. Je ne suis pas sûr de ce que les opérations sont autorisées, dans le cas de matrices en particulier la multiplication et la division. Alors, quelqu'un peut-il clarifier?

Answer 1

Je suppose que vos matrices A et B ont la même taille et les deux carrés. Si ce n'est pas le cas, faites le moi savoir. Dans ce cas, A/B est la même chose que A * inv(B). Pour différencier, vous utilisez la règle normale Leibniz pour la différenciation, en prenant soin de garder les produits dans le même ordre (puisque la multiplication de matrices ne commute pas):

d/dx (A * inv(B)) = dA/dx * inv(B) + A * d(inv(B))/dx 

Si vous cochez Wikipedia vous pouvez constater que le dérivé d'une matrice inverse est

d(inv(B))/dx = -inv(B) * dB/dx * inv(B) 

donc pour le dérivé du produit que vous obtenez

d/dx (A * inv(B)) = dA/dx * inv(B) - A * inv(B) * dB/dx * inv(B) 

vous pouvez factoriser la multiplication par inv(B) des deux côtés, donnant

d/dx (A * inv(B)) = (dA/dx - A * inv(B) * dB/dx) * inv(B) 

et vous pouvez maintenant vous écrire l'expression en utilisant les opérateurs de division Matlab à gauche et à droite, donnant

d/dx (A/B) = (dA/dx - (A/B) * dB/dx)/B 

qui est le plus concis que vous pouvez le faire. En général, vous ne vous attendez pas à ce que l'un des A, B, dA/dx ou dB/dx permute entre eux, donc vous ne pouvez plus simplifier cela. Bien sûr, si dans votre application avez des raisons pour lesquelles certaines de ces matrices vont toujours commuter, d'autres simplifications peuvent être possibles.