Comment calculer la formule suivante

Question

Compte tenu,

1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + 4*2^4 + ... d * 2^d 

= sum(r * 2^r, r from 1 to d) 

Comment peut-on déduire à la solution suivante?

= 2 (d-1) * 2^d + 2 

Merci

Answer 1

Par induction sur d:

cas de base

d = 1 
sum(r * 2^r, r from 1 to 1) = 1 * 2^1 = 1 * 2 = 2 
2 * (1 - 1) * 2^1 + 2 = 2 * 0 * 2 + 2 = 0 + 2 = 2 

inductifs cas

Nous partons du principe que l'hypothèse d'induction est vrai pour d ainsi:

sum(r * 2^r, r from 1 to d + 1) = 
sum(r * 2^r, r from 1 to d) + [(d + 1) * 2^(d + 1)] = 
2 * (d-1) * 2^d + 2 + [(d + 1) * 2^(d + 1)] = 
(d - 1) * 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) + 2^(d + 1) = 
d * 2^(d + 1) - 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) + 2^(d + 1) = 
d * 2^(d + 1) + 2 + d * 2^(d + 1) = 
2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 1) 

et évaluer maintenant votre formule pour d + 1

2 (d-1) * 2^d + 2 = (substituting d + 1 for d) 
2 * (d + 1 - 1) * 2^(d + 1) + 2 = 
2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 2) 

ainsi

2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 1) = 2 * d * 2^(d + 1) + 2 (result 2) 

QED

Answer 2

Je pense que vous pouvez montrer en preuve par induction:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_induction